 |
19. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(1) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের
বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত-
(a) 2:5
(b) 8:7
(c) 10:9
(d) 16:9
উঃ। বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 2n x 2 x 5 : 2 × 3 x 3
= 10 : 9
. (c) উত্তরটি সঠিক।
(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5 : 3 হলে তাদের আয়তনের অনুপাত-
শর্তানুসারে,
(a) 27:20
(b) 20:27
(c) 4:9
(d) 9:4
উঃ। তাদের আয়তনের অনুপাত
= n(2)² × 5 : n(3)² × 3
= 20:27
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত--
(a) 1:√2
(b) √2:1
(c) 1:2
(d)2:1
উঃ-(d) 2:1
π r² h = π r² h, এবং h. : h = 1:2
¹. ² ¹ ²
[মনেকরি h = x, b = 2x]
¹ ²
শর্তানুসারে, π r² h = π r² h
¹. ²
বা, r² = 2 r²
¹ ²
বা, r = √2r
²
বা, r. √2
¹
------ = -------
r. 1
²
r. : r = √2:1
¹. ²
তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত √2:1
:: (b) উত্তরটি সঠিক।
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ হলে, চোঙটির আয়তন হবে চোঙের আয়তনের-
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
(d) 4 গুণ
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক ও
উচ্চতা = h একক হইলে আয়তন
(v ) = xr²h।
¹
r
ব্যাসার্ধ -----একক ও
2
উচ্চতা = 2h একক হইলে আয়তন
r 1 1
( v ) = π(-----) ×2h = ---- πr²h =---v
² 2 2 2 ¹
2. (c) উত্তরটি সঠিক।
(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং উচ্চতা অর্ধেক করা হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল পূর্বের চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের-
(a) সমান
(b) দ্বিগুণ
(c) অর্ধেক
উঃ। ধরি, চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক
ও উচ্চতা h
A = 2nrh। এখন ব্যাসার্ধ = 2r
¹
h
উচ্চতা--- একক হইলে
2
h
আয়তন (A. ) =2π(2r)×----
² 2
= 2πrh= (A )
¹
: (a) উত্তরটি সঠিক।
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি লম্ব চোঙাকৃতি ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি এবং উচ্চতা h সেমি। ড্রামের অর্ধেক জলপূর্ণ থাকলে, জলের আয়তন হবে πr²h ঘনসেমি।
উঃ। (মিথ্যা)
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 একক হলে, চোঙটির যে কোন উচ্চতার জন্য চোঙটির আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হবে।
উঃ। (সত্য)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য । একক এবং প্রস্থ b একক। আয়তক্ষেত্রাকার কাগজটিকে মুড়ে একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল যার পরিধি কাগজটির দৈর্ঘ্যের সমান। চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল --- বর্গএকক।
উত্তর-b
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি। চোঙটির ভিতর সর্বাপেক্ষা লম্বা যে দন্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য---- সেমি।
উত্তর - 5
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে চোঙটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য---একক।
উত্তর- 4
20. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমি এবং আয়তন 924 ঘনমিটার হলে, স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত লিখি।
= r মি ও উচ্চতা = h মিটার।
উঃ। মনে করি, স্তম্ভটির ভূমির ব্যাসার্ধ := r মি ও উচ্চতা = h মিটার।
১ম শর্তানুসারে 2xrh = 264
২য় শর্তানুসারে πr²h = 924
r. 924
(ii) ÷ (i) = ---- = --------
2 264
924
বা, r =------- =7
2
:: চোঙটির স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার।
(ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল c বর্গএকক, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং আয়তন v ঘনএকক হলে
cr
------ এর মান কত তা লিখি।
v
উঃ। ধরি, চোঙটির উচ্চতা = h একক
cr. 2πrh × r
:. ------ = ----------- = 7
v. π r² h
(iii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 cm এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি হলে চোঙটির আয়তন কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
প্রশ্নানুসারে, 2arh = 264
22
বা, 2x ----- × r × 14 = 264
7
264
বা, r = ------ =3
88
চোঙটির আয়তন
= π r² h ঘন সেমি
= n(3)²x14 ঘন সেমি
= 396 ঘন সেমি
(iv) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হইলে তাদের আয়তন অনুপাত কত তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙদুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে
r একক ও R একক ও
উচ্চতা h ও 2h একক
প্রশ্নানুসারে, 2πr : 2πR= 3:4
বা, r : R=3:4
3R
বা, r =-----
4
:: আয়তনের অনুপাত
= n(r)2 x h:n(R²) x 2h
3R
বা, (-----)²:2R²
4
= 9R² : 32R ²
= 9 : 32
(v) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হল এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হলো। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে তা লিখি।
উঃ। মনে করি, চোঙটির ব্যাসার্ধ = r একক ও উচচতা h একক
: আয়তন (v) = π r² h ঘন একক।
¹
: চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস পেলে হয়
50r. r
------ = ---- একক
100. 2
চোঙের উচ্চতা 50% বৃদ্ধি পেলে হয়
150h 3h
------ = ---- একক
100 2
এখন আয়তন
r 3h 3
(v ) = π (----)× ---- = ---- πr²hঘন একক
² 2 2 8
:. আয়তন হ্রাস. =
3
π r² h - ---- π r² h
8
[ ----------------------------- ×1000 ] ℅
π r² h
5
=( --------× 100)℅
8
500
= ------------℅
8
1
= 62---- ℅
2
.